AIにも応用される「ベイズの定理」を見ると共に、例題を通じてPCR検査による罹患率を計算してみる。

「ベイズの定理」というのをご存知だろうか。高校数学で学ぶと言われるこの考え方は、今話題の武漢コロナの「PCR検査」を考える上でうってつけである。また、AIにも広く利用されている数学の理論である。そのほんの最初の入り口を見ていきたい。是非、お付き合いを。

１．ベイズの定理とは

高校数学で学ぶ「ベイズの定理」は、単純だが非常に興味深い「定理」である。人工知能（AI）の基礎となる、機械学習やディープラーニング（深層学習）にも応用される定理である。

内容の前に、「ベイズの定理」の歴史に触れておきたい。UK（イギリス）のロンドンに住む牧師で数学者のトーマス・ベイズが証明したと言われるが、それが日の目を見たのは彼の死後だった。トーマス・ベイズは1700年代の人で、ベイズの定理はなんと300年も前の物ということになる。

このベイズ定理を使って、「ベイズ推論」といわれる考え方があり、また統計学にも応用され「ベイズ統計」と言われるものもある。またベイズ推論はＡＩの考え方の基礎である「機械学習」にも使われる。そしてその応用の「ディープラーニング」にも利用される。

ベイズ推論やベイズ統計には、複雑な積分など、高等数学が必要という。ここではそんなベイズ定理を、ほんの入り口だけ、具体的な数式と計算例と共に見ていきたい。

２．ベイズの定理の数式

(1)まずは「条件付き確率」について

ベイズの定理は「条件付き確率」の変形である。そのためベイズの定理には、「条件付き確率」を理解しないといけない。
「条件付き確率」は下記の式で求められる。下記の例で言えば、ある事象Xが条件Yの下で起こる確率、ということになる。

【P(Y|X)】
　「P、XギブンY」と読む。Xの条件下でのYの起こる確率、を言う。
【P(X)】
　Xの起こる確率
【P(X∩Y)】
　X,Yのどちらも起こる確率

このように、異なる確率二つの総合の計算を行うのが、「条件付き確率」である。「Xという条件を満たしたときの、Yの確率」と表現できる。
ここで、「Xを原因」とし「Yを結果」と考えて条件付き確率をとらえる考え方もある。

(2)条件付き確率からベイズ定理へ

条件付き確率を、「原因」と「結果」ととらえたときに、その逆が可能になる、すなわち「結果から原因の確率を割り出す」ということを考える。それが「ベイズの定理」である。

と言っても、条件付き確率の数式を変換していくだけで、導き出される。導き出すのは、先ほどの「P(Y|X)」（Xの事象の下でのYの確率）とは逆の「P(X|Y)」（Yの事象の下でのXの確率）である。
Xを「原因」Yを「結果」とするなら、「原因(X)から結果(Y)の確率を求める」のではなく「結果(Y)から原因(X)の結果を求める」となる。

（導出）
・　条件付き確率の式より、P(Y|X)は
　　$$P(Y|X)=\frac{P(X∩Y)}{P(X)}$$
　　これを変形すると、
　　　$$P(X∩Y) = P(Y|X)・P(X) ･････ 式①$$
・　ここで上記の条件付き確率の「X」と「Y」を逆にして、P(X|Y)を考える。すなわち結果である「Y」の条件下で、原因である「X」の起こる確率を導き出す、という言い方ができる。
「この場合、P(X∩Y)はどちらの場合も同じの為、下記の通りになる。
　　$$P(X|Y)=\frac{P(X∩Y)}{P(Y)}$$
・　これに変形した「P(X∩Y)」（上記の式①）を代入する。
　　$$P(X|Y)=\frac{P(Y|X)･P(X)}{P(Y)}$$

これが「ベイズ定理」の導出方法である。では、実際の例を見てみたい。

３．問題①　病気の罹患りかん率　～武漢コロナの罹患りかん率は？～

ベイズの定理を考える時に、最もポピュラーな「罹患りかん率」を考えたい。これはまさに武漢コロナに伴うPCR検査を考える時に使える考え方と言える。

問題①を表にすると上記のようになる。もし、感覚的に『この検査で「陽性である」と判定された人が「罹患りかん者」である確率』を考えたら、どうなるだろうか？表をパッと見て「98%は罹患りかんしている（病気である）」と思ったら間違いである。なぜなら、罹患りかんしていなくても陽性となる可能性があるからである。
では、それはどうやって導き出されるのか。そこで「ベイズの定理」の出番である。「罹患りかんした人が検査陽性となる確率」（=98%)等を使って、「検査陽性の人が罹患りかんしている確率」を導き出すのである。

となる。すなわち、「検査陽性」とされても、この病気とこの検査であれば、本当に「罹患りかんしている人」はわずか0.48%ということになる。
この結果はすなわち、「この検査方法だけに頼るのではなく、その後の再検査が重要」ということになる。現在の武漢コロナはで考えれば、PCR検査の結果の見方が見えてくるのではないだろうか？

４．問題①から考えるベイズの定理 ～「事前確率」から「事後確率」へ～

先ほどの問題①の意味を再度考えてみたい。

問題①の例では、「原因と結果」という条件付き確率の基本に則して話を進めた。しかし、もう一つの考え方に「事前確率」と「事後確率」とがある。
問題①の答えを、「事前確率」と「事後確率」という視点で見ると、下記の通りとなる。

「原因と結果」という視点もあるが、このように「事前確率」と「事後確率」ととらえるとより分かりやすいと思う。
この問題①の例では、「検査陽性」となってもたったの「0.48％」しか罹患りかんしている人はいないのか、と思うかもしれない。しかしこの検査とその統計という新たな情報が加わったことで、「事前確率」が「0.1％」だったものから、５倍近い確率の「0.48％」の「事後確率」が得られたのである。
確かに低いかもしれないが、「検査を行えば、0.1%しかいない罹患りかん者をその５倍の精度で判明できる」、と言える。

このように、新たな確率が加わることにより事象の確率が変わる（更新される）ことを「ベイズ更新」という。

５．問題②　AIへの応用を考えよう　～迷惑メールの確率は？～

先ほどの問題①は、ベイズ定理を語るときには必ず出る例題だが、今度は、少しAI的な考え方を入れた問題で見てみたい。少し身近な問題で考えると、更に理解が深まると思う。

問題②は内容はずいぶん異なるが、考え方は問題①と同じである。

この問題②の計算結果で言える事は、

という事が言える。この考えに基づいて「迷惑メール」のフィルタリング機能のプログラムが組まれる。メールのフィルタリングに使われる「ベイジアンフィルタ」と言われる技術は、これに「学習」を加え、実際のデータより前提となる確立を修正しながら精度を上げていく。このように「情報をアップデートしながら推定を行う」のを「逐次ベイズ推定」といい、ＡＩの考え方にも多く取り入れられている。

６．ベイズの定理の意味

「条件付き確率」の考え方に「原因から結果を導く」という言い方がある。ベイズ定理はそれを「結果から原因を導く」という「逆」ができる、という言い方をするようである。

しかし、私の理解は「事前確率」と「事後確率」という言い方の方が、すっと身に入った。「事前確率」で得られた確率は、更なる調査により得た情報から「事後確率」へと変換（更新）されることで、より正確と思われる確率が得られる、という理解をすると分かりやすいと感じる。この「更新」が「ベイズ更新」である。

７．ベイズの定理を見て

ベイズの定理を簡単な例題と共に見てきた。あくまでほんの「入り口」だけの部分ではあるが、方法は理解してもらえたと思う。
しかし、方法は理解しても、ベイズの定理とその計算結果を見てどう思っただろうか？問題①では「検査陽性者の罹患の確率が、たったの0.48%はおかしい！」と思う人もいたと思うし、問題②では「こんな計算でなんで迷惑メールの比率が51%に上がるんだ？」と思う人もあると思う。
私も、特に問題①の結果を見たとき、なぜここまで低くなるのか、少し意外に思えた。